\section[轨迹]{\makebox[5em][s]{轨迹}}\label{sec:01.05}

谁都看到过，当喷气式飞机在飞行的时候，它的尾部泄出的
白烟在天空中构成形状美丽的各样曲线。这些曲线反映了飞机所
行经的路程。质点在运动中所经过的各点在空间连成一条曲线，
这条曲线我们称之为轨迹。

\begin{figure}[!h]
  \hspace{3em}
  \subfigure[\null]{
    \label{fig:01.06a}
    \includegraphics{figure/fig01.06a}
  }
  \hspace{3em}
  \subfigure[\null]{
    \label{fig:01.06b}
    \includegraphics{figure/fig01.06b}
  }

  \hspace{3.7em}
  \subfigure[\null]{
    \label{fig:01.06c}
    \includegraphics{figure/fig01.06c}
  }
  \hspace{1.3em}
  \subfigure[\null]{
    \label{fig:01.06d}
    \includegraphics{figure/fig01.06d}
  }
  \caption{各种运动的轨迹}
  \label{fig:01.06}
\end{figure}

\clearpage

从图\ref{fig:01.06}看到，各种运动的轨迹形状是不同的；\subref{fig:01.06a}图是直线，
\subref{fig:01.06b}图是圆周，\subref{fig:01.06c}图是抛物线，\subref{fig:01.06d}图是一般曲线。依照轨迹形状
的不同，可以把运动分为直线运动和曲线运动两大类。

如何描写轨迹呢？可利用曲线方程来描写。譬如，曲线方程 \begin{equation*}
  \begin{aligned}
     & x^2+y^2=r^2 \\
     & z=0
  \end{aligned}
\end{equation*}
就描写了在$z=0$平面上半径为$r$的圆周运动的轨迹。一般曲线方
程可以表示成
\begin{equation*}
  \begin{aligned}
    f_1\left(x,y,z\right)=0 \\
    f_2\left(x,y,z\right)=0
  \end{aligned}
\end{equation*}

在历史上很长一个时期内，人们只注重轨迹形状的研究，例
如行星走圆形，落体走直线。我们知道，质点运动是位置的变化，
它涉及空间和时间两方面。轨迹形状只反映了运动的空间方面的
性质，它对于研究运动还是不够的，因为轨迹还没有把质点运动
的情况全部表述出来，特别是没有表述它的动态性质。百米赛跑
时，所有运动员的轨迹都是直线，但他们各自的运动情况并不全
同，否则就分不出名次了。我们不仅应该知道轨迹，而且还应知
道质点经过轨迹上各点的时刻。运动是在时间、空间里的现象，
关键是把时间描写和空间描写联系起来。直到牛顿之前不久，才
特别强调了这一点。

下面，我们举两个直线运动的例子。

对于在平直铁轨上稳定运动的列车上的某一点，所测得的各
时刻的位置列于表\ref{tab:01.04}中，其中位置坐标$x$是以铁轨为参考系的(图\ref{fig:01.07})。
\begin{table}[h]
  \caption{}
  \label{tab:01.04}
  \centering
  \zihao{-5}
  \begin{tblr}{c*{6}{|X[c]}}
    \toprule
    时\hspace{2em}间（秒） & 0 & 1  & 2  & 3  & 4  & 5  \\
    \midrule
    位置坐标（米）           & 0 & 17 & 34 & 51 & 68 & 85 \\
    \bottomrule
  \end{tblr}
\end{table}

\begin{figure}[!h]
  \centering
  \includegraphics{figure/fig01.07}
  \caption{列车的运动}
  \label{fig:01.07}
\end{figure}

对于从地面上某一高度自由落下的质点(称为自由落体)，轨
迹也是一条直线。如果我们取如图\ref{fig:01.08}所示的坐标系，则所测得的
质点在各时刻的位置列在表\ref{tab:01.05}中。
\begin{table}[!h]
  \caption{}
  \label{tab:01.05}
  \zihao{-5}
  \centering
  \begin{tblr}{c*{5}{|X[c]}}
    \toprule
    时\hspace{2em}间（秒） & 0 & 1   & 2    & 3    & 4    \\
    \midrule
    位置坐标（米）           & 0 & 4.9 & 19.6 & 44.1 & 78.4 \\
    \bottomrule
  \end{tblr}
\end{table}

用数学的语言说，表\ref{tab:01.04}~和表\ref{tab:01.05}~是给出了质点的位置坐标与
时间之间的函数关系，这个函数关系$x\left(t\right)$，称之为轨迹函数，或
\begin{wrapfigure}[14]{l}{8em}
  \centering
  \includegraphics{figure/fig01.08}
  \\ ~ \\
  \caption{落体的运动}
  \label{fig:01.08}
\end{wrapfigure}
运动方程式、运动解。

为了便于进行计算，我们常希望能把轨迹
函数$x\left(t\right)$写成简单的分析表达式。对于表\ref{tab:01.04}~
的$x\left(t\right)$，可以写成
\begin{equation}\label{eqn:01.05.01}
  x=17t
\end{equation}
对于表\ref{tab:01.05}~的运动，可以写成$x=4.9t^2$。

对于曲线运动，轨迹函数就是位置矢量$\vec{r}$作为时间
$t$的函数，亦即$\vec{r}\left(t\right)$。随着$t$的变化，位置矢量$\vec{r}$的
端点在空间所划出的曲线，就是质点运动的轨迹(图\ref{fig:01.09})。也可
以用质点的三个坐标的函数$x\left(t\right)$，$y\left(t\right)$及$z\left(t\right)$来描写运
动，它们与$\vec{r}\left(t\right)$的关系是
\clearpage
\begin{equation}\label{eqn:01.05.02}
  \vec{r}\left(t\right)=x\left(t\right)\vec{i}+y\left(t\right)\vec{j}+z\left(t\right)\vec{k}
\end{equation}

\begin{wrapfigure}[7]{r}{11em}
  \centering
  \includegraphics{figure/fig01.09}
  \caption{曲线运动}
  \label{fig:01.09}
\end{wrapfigure}
轨迹也具有相对性。譬如对于从地面上某一高度自由下落的质点，以
地面为参考系，看到轨迹是一条直线；而相对于沿平直铁轨稳定运行的
列车来说，轨迹则是一条抛物线。同一个物体的运动，在不同的参考系中
看到的轨迹形状不一定相同。

另一方面，对于时间，也必须选取一定的标准，即选取时间
原点，才能进行测量。而时间原点的选取，也有任意性，不同的
选取法，使轨迹函数的形式也有些差别。

因此，参考系的概念要作些扩充。选取一个参考系应包括：
给定放置在某物体上的坐标系，作为测量空间的标准；以及给定
一个钟，作为测量时间的标准。
